DE BUROCRACIA A NO VA MÁS

Imagen: misteriosos símbolos iniciáticos con profundo significado místico y gastronómico.

Este blog está en época de vacas flacas, no sólo en textos sino en lectores. Y es que no tengo demasiadas cosas interesantes que decir. No he vuelto a pasear por Escocia, Terminé el libro de Álvaro Naira, pero dejo la reseña para después, y casi que ni siquiera he ido de farra. Si, casi. El viernes estuve tomándome unos whiskys en el Uisge Beatha, un simpático pub en Woodlands Road con una especie de maniquí de Margaret Thatcher regalando a la clientela con su sonrisa cínica entre abundantes cabezas de venados, un búfalo y una girafa. Más o menos como poner una foto de cuerpo entero tamaño natural de Higuita, pero mucho más matafiestas. Chévere poner a la Thatcher en medio de los trofeos de caza, pero feo de todos modos poner trofeos de casa.

Voy a usar este texto para consolarme por la aridez relativa de esta época en la que he estado tan sumergido en mi trabajo, aprendiendo C++ a las carreras, obteniendo resultados preliminares poco satisfactorios con mi método de proyección simétrica (eso queda en remojo, ahora estoy dedicado más a los borradores, que son mas interesantes). Y me voy a consolar trayendo a colación el esquema de la sucesión de las cinco épocas según el saber discordiano.

El año discordiano se compone de 5 estaciones de 73 días cada una:

1) V IS FOR VERWIRRUNG (CAOS, HIPÓTESIS, MATRIARCADO, YIN, TIERRA, TORTUGA, INFINITO, ANARQUÍA, LUNA, NÚMERO DOS) del primero de enero al 14 de marzo. Cada 4 años se inserta entre el día 59 (28 de febrero) y 60 (primero de abril) el día de san Tib. Esta es una época desordenada pero armoniosa, donde nada permanece estático sino que todo cambia en un flujo continuo y sin sobresaltos. Es plural en el sentido más amplio, y ninguna parte del todo llega a prevalecer demasiado sobre las demás durante mucho tiempo. Sin embargo, en 73 ciclos (días) la tendencia de algunas partes a predominar termina con este estado de cosas, y se pasa a la siguiente 2) ZWEITRACHT (DISCORDIA, ANTÍTESIS, PATRIARCADO, YANG, MARTE, LOBO, FASCISMO, SOL, NÚMERO TRES) del 15 de marzo al 26 de mayo Esta época está caracterizada por la lucha entre dos facciones opuestas por la supremacía. Los asuntos de la competencia y en general la imposición de una cosa sobre otra son muy importantes aquí. Esta situación eventualmente termina cuando una de las partes logra finalmente un predominio temporal y violento sobre las otras. 3) UNORDNUNG (CONFUSIÓN, SÍNTESIS FALLIDA O ILUSORIA, CIUDADES-ESTADO, PRESIDENCIALISMO, MERCURIO, COYOTE, LOKI*, NÚMERO 11) del 27 de mayo al 12 de agosto Esta época está caracterizada por la superación de las disputas del anterior. Sin embargo, como estas disputas fueron necesariamente zanjadas por una imposición violenta y necesariamente parcial, es sólo una superación ilusoria cuya apariencia requiere más violencia e imposición para su mantenimiento. Después de 73 ciclos se llega a un equilibrio determinado por un pragmatismo miope y poco eficaz, pero extremadamente rígido e inamovible, que comienza la siguiente etapa. 4) BEAMTENHERRSCHAFT (BUROCRACIA, PARÉNTESIS, NACIONES-ESTADO, TECNOCRACIA, PLUTÓN, CASTOR, NÚMERO OCHO) del 13 de agosto al 19 de octubre Su nombre, burocracia, lo dice todo. Todo es minuciosamente catalogado, rotulado, anotado, guardado, perdido, buscado, vuelto a encontrar, transladado, y verificado; todo de acuerdo a procedimientos claros y específicos, pero nunca sencillos. Este orden burocrático comienza a desmoronarse después de 73 ciclos, y se pasa a la siguiente etapa. 5) GRUMMET (CONSECUENCIAS (cierre de caja), CONSTERNACIÓN, IMPERIO EN DECADENCIA, POPULISMO, BACO, RATA, NÚMERO CINCO ) del 19 de octubre al 31 de diciembre En esta etapa, todas las cosas que han sido reprimidas por las anteriores emergen nuevamente. Aquí predominan los revivalismos de todo tipo, igual que los tremendismos, los catastrofismos y otro montón de ismos. Después de 73 ciclos, cuando la mayoría ya quemó fiebre, se vuelve a la etapa primigenia: VERWIRRUNG.

Según el calendario discordiano, estamos en plena burocracia, pero ya vienen las consecuencias. En ciclos más grandes, creo que también estamos en consecuencias, y la época más notablemente característica está por llegar alrededor del año 2012, con algún cambio que borre finalmente los vestigios de Burocracia y demás épocas anteriores, y permita volver al caos.

Todo esto está explicado de manera más bien clara en "Iluminatus!" de Robert Anton Wilson, y de manera menos clara pero muy interesante en Principia Discordia y textos asociados (como el "Libro Honesto de la Verdad")

Sin embargo, la estructura de las cosas de a cincos, de la cual el esquema anterior es sólo una aplicación a la cronología de lo que sea, es algo que está presente en todas partes. Hoy mismo, el Juglar del Zipa sacó un post tremendamente pentalógico, en un suceso bastante sincrónico. Y poco antes, el mismo personaje había comenzado a organizar la interesante institución de los "25 ajiacos" (5x5). Si alguien puede asistir y contarme que no son reuniones de los Iluminati, quedaré más tranquilo.

Finalmente, los dejo con una representación de un poliedro de 25 vértices que se puede generar con un vector complejo al azar de 5 dimensiones, y las transformaciones del grupo de Weyl-Heisenberg de orden 5. Cada uno de los vértices puede ser o un ajiaco, o uno de los 5 elementos (dulce, pum, picante, púa y naranja, traducidos descuidadamente como se debe) en una de las 5 estaciones.

(*) Loki es el mismo dios nórdico burlón que poseía a todo el que se pusiera la máscara en la película "La Máscara", esa protagonizada por Jim Carrey.
(**) El lector enterado de los asuntos discordianos encontrará que este post está lleno de errores. Sobre los errores, cabe anotar que:

1) Todos son intencionales.
2) Su número está estrechamente relacionado con el 5
3) No son los que parecen ser a primera vista
4) Cada cual está relacionado con otros dos.
5) A pesar de los 4 puntos anteriores, los errores sí implican un alto grado de ignorancia por parte del autor, que simplemente está tratando de parecer más inteligente de lo que es.

PEQUEÑO PASEO LEXICOGRÁFICO

Imagen: Catálogo de pajaritos sumerio de hace muuucho tiempo. Tomada de la sección lexicográfica de la página web de la colección Schoyen.

Como lo había mencionado antes, me puse a bajar texto de unos cuantos blogs (5) para ver qué resultados de co-ocurrencia de palabras salen, con mi programita. Quería hacer eso también con el blog del Juglar del Zipa, pero resultó que tiene demasiado pocas palabras. Para llenar el hueco metodológico, decidí más bien recurrir a nuestro amigo Addiction Kerberos. Tomé el texto de "Crónicas desde el Trasero del mundo", pero increíblemente no resultó suficiente, por lo que acudí a "Joural Malédiction". Como me dio pereza romperme la cabeza escogiendo la fuente de los textos, tomé ese, dos blogs del prolífico y prostático Jaime Ruiz ("Pensemos" y "Vislumbrando el Milagro Colombiano") el de Alejandro Gaviria y el de Alejandro Peláez (Machete), blogs que visito con alguna frecuencia.

Como de costumbre, la matriz de coocurrencia (una columna para cada palabra, una fila para cada palabra, y en cada sitio el número de veces que salen en una misma vecindad) es descepcionantemente poco poblada. Por eso hacen falta archivos muy grandes. Sin embargo, algo se puede ver en ésta. Aquí están algunas palabras que suelen aparecer juntas en al menos dos de dichos blogs:

PALABRA 1	PALABRA 2	AGAVIRIA	KERBEROS	MACHETE	PENSEMOS PB	PAIS BIZARRO
colombianos	somos	1	0	0	268	0
colombianos	desarrollo	0	0	1	0	161
mucho	muchos	151	0	0	0	1
colombiana	riqueza	0	0	0	122	7
colombiana	evidente	1	0	0	0	84
estado	unidos	68	0	0	1	0
colombia	colombiana	66	0	0	1	0
colciencias	mejor	0	16	50	0	0
pasa	pasado	55	0	0	0	2
pública	veces	1	0	0	51	0
harvard	semana	0	0	0	2	50
prensa	últimas	1	0	0	50	0
colciencias	mientras	0	5	39	0	0
blog	orden	0	0	0	43	1
paz	tecnología	0	0	0	1	38
medios	parece	0	0	0	4	31
materia	ricos	1	0	0	34	0
colombianas	público	0	0	0	32	3
colombianas	medios	0	0	0	26	8
colombiana	rural	0	0	0	32	1

(para una lista un poco más completa, usted puede ir por allá)

El tamaño de los textos hace que estén más documentados los resultados de los dos blogs del gramático del régimen. Tomando en cuenta todas las co-ocurrencias y comparándolas con la medida de similaridad usual (el coseno entre los vectores) obtuve un resultado un poco extraño (mostrado acá como porcentajes de la raíz cuadrada del coseno entre vectores con todos los datos de co-ocurrencia):

	AGAVIRIA	KERBEROS	MACHETE	PENSEMOS PB	PAÍS BIZARRO
AGAVIRIA	100	17	12	14	15
KERBEROS	17	100	54	16	10
MACHETE	12	54	100	12	18
PENSEMOS	14	16	12	100	19
PAÍS BIZARRO	15	10	18	19	100

Tomé la raíz cuadrada porque los números, tal como salen, son demasiado pequeños entre palabras distintas, y no se pueden apreciar las diferencias bien. Aunque los resultados no muestran unas afinidades lexicográficas muy marcadas, hay una sorprendente entre nuestro amigo Alejandro Peláez y el atormentado Addiction Kerberos. Como diría Jaime Ruiz: ¿serán el mismo?

Con un poco de imaginación y con números en negrillas, uno puede ver que los blogs de don Jaime sí son más parecidos entre sí que con los otros tres, al menos. Y que todos los otros tres son, en general más parecidos entre sí que con los bizarros.

El esquema matemático que usé no es la gran cosa (leximancer, por ejemplo, haría algo muchísimo más sofisticado), y estoy trabajando en uno más sofisticado basado en la medición de la fidelidad de los canales de comunicación cuánticos, que tal vez de resultados más interesantes. Cuando lo tenga, lo pongo acá.

Veamos si con este ladrillazo espanto a mis tres lectores.

Hasta pronto.

BORRAR Y MAS BORRAR (III)

Imagen: A Thom Yorke también le gustan los borradores. Ya me dirán cómo es la cosa sus fanáticos. Tomada de la página de Thom Yorke en Amie Street.

Se alargó y se alargó la trilogía sobre la conferencia de Oxford, hasta tal punto que ya no voy a hablar en ella de las charlas más importantes de mis gurúes académicos: Sven Aerts, Dominic Widdows y Peter Bruza. Y de otras charlas muy interesantes. Voy a saltar de una vez a la parte donde se entiende por qué la trilogía hace referencia a los borradores. No es porque las penas no se borren con un borrador de tiza, ni con el trago que me embriaga.

La idea es la siguiente: Aerts, Widdows y Bruza han mostrado cómo el lenguaje natural tiene rasgos que se acomodan más a una descripción construída sobre la lógica cuántica que sobre la lógica booleana normal , pero yo pretendo extender eso un poco: tal vez las mediciones lexicográficas que se hacen sobre documentos de texto en lenguaje natural también funcionen mejor representadas con un esquema cuántico.

De acuerdo con la teoría cuántica, cuando se escoge un conjunto de observables para medir en un sistema, al medirlos se borrará irremediablemente la información acerca de otros observables que no se midieron. Es decir, al medir una cosa, se borra otra.

Mi modesto aporte, para decirlo de una vez, consiste en tres cosas:

1. Definir borradores selectivos, que borran todo lo que no está en la vecindad de la aparición de una palabra en el texto, y mostrar que tienen muchas de las características de mediciones cuánticas ideales: se comportan como un cierto tipo de operadores llamados proyectores.
2. Explorar las posibles relaciones lógicas entre los borradores selectivos definidos con diferentes palabras y diferentes tamaños de vecindad, todo bajo la luz de lo que se conoce sobre lógica cuántica
3. Proponer la manera como se pueden utilizar estas características cuánticas de las mediciones lexicográficas para representar documentos de texto en un sistema de búsqueda de información.

La idea es que un documento de texto puede pensarse como un estado de un sistema físico. Hay un sistema físico, no importa si es un disco, un papel, o lo que sea, y lo que está escrito ahí es un estado del sistema. Lo que está escrito, además, no está definido hasta que el lector no ha escogido el punto de vista desde el cual lo va a leer. Las palabras se consideran, en este enfoque, como entes con un significado muy dependiente del contexto, cuya representación, si pretende llevar un contenido semántico, debería depender fuertemente del punto de vista.

Cuando dos borradores son compatibles, el orden en el que se aplican no importa, y con ellos se pueden definir las operaciones lógicas habituales (uno Y el otro, uno O el otro, etc.). Cuando no son compatibles , la lógica booleana no tiene mucho que decir de sus relaciones, y hay que comenzar a escarbar en lo que se ha desarrollado de la lógica cuántica, una lógica con puntos de vista (hay otras, pero son bastante más complicadas).

Como tengo que aplicar este esquema a experimentos prácticos de búsqueda de información, ya comencé a aprender a poner ese tipo de cosas a funcionar con un computador. Algo que estoy haciendo, es practicar con texto sacado de blogs. Lo que he hecho hasta ahora a nivel informal (de mi trabajo formal no hablo aún) es encontrar la manera de sacar una matriz de similaridad entre palabras según su uso, partiendo de un documento de texto.

El lector suficientemente geek puede encontrar en este enlace un programa que calcula la matriz de co-ocurrencias. Se baja como documento de texto a CoOcurrencias.sh, y se le fijan los permisos como ejecutable. Eso se puede hacer con

wget http://www.dcs.gla.ac.uk/~alvaro/CoOcurrencias.sh chmod +x CoOcurrencias.sh # La siguiente linea hay que añadírsela a /etc/rc.local con privilegios de administrador: alias CoOcurrencias="/CoOcurrencia.sh"

Para usarlo, sugiero crear una carpeta con sólo la lista de palabras y el archivo de texto. Se ubica en esa carpeta, y le da el siguiente comando:

CoOcurrencias [lista de términos] [archivo de texto] [ancho de ventana]

El programa creará algunos archivos temporales que se borran solos, y una carpeta "ventanas" donde pondrá unos archivos .dat con los conteos alrededor de cada palabra. Finalmente, quedan los siguientes archivos:

TerminosContados.txt - Conteo de los términos que aparecen resultadosCC.out - Los pares de palabras, con las veces que aparecen cerca resultadosCCN.out - Las palabras reemplazadas por números, para procesamiento matemático posterior.

Recomiendo que para estos cálculos se utilicen archivos de texto de al menos cientos de miles de palabras, pues de otro modo la matriz de coocurrencias queda muy vacía.

Inicialmente, apliqué este procedimiento al primer pantallazo del blog Pensemos País Bizarro, de donde saqué 223044 palabras (tokens) que son distintas ocurrencias de 19701 términos, 12958 aparecen sólo una o dos veces, 6743 aparecen más veces. Por ahora, sólo mencionaré un par de datos curiosos que encontré en el citado blog:

• Entre las palabras más frecuentes está "Colombia" que sale 598 (mas frecuente que 19292 palabras, menos que 31)

• La palabra "nunca", una muletilla epistemológica que me causa gracia del autor del blog, aparece 90 veces (mas frecuente que 19090 términos, menos frecuente que 233)
• La palabra "siempre", otra cara de la misma muletilla, aparece 229 veces (mas frecuente que 19240 términos, menos frecuente que 83)
• La palabra "izquierda" tiene una frecuencia de co-ocurrencia con la palabra "antepasado" que es toda una rareza en el lenguaje natural. Altísima. "antepasado" sólo aparece en la vecindad de "izquierda". Habría que juntar este pantallazo con otros, para validar este resultado en un texto más largo.

Finalmente, ya que estamos hablando de lenguaje, les dejo acá un video hilarante que se encontró Shoegazer sobre el lenguaje que se usa en Glasgow:

Buen provecho. Ya me dirán los que la conocen si la presentadora no se parece a mi mamá cuando era joven.

KELVINEITOR II

Imagen: Propaganda del Kelvinator, un novedoso electrodoméstico en 1951. Nótese el aire nórdico-vintage de la propaganda, con una estética predecesora del jabón nórdico. Tomada de www.answers.com (ojo, que el vínculo le abrirá una ventana pop-up)

Hoy pasé todo el día en la conmemoración del centenario del legado de William Thomson, primer Lord Kelvin, figura emblemática de la Universidad de Glasgow. Excelente, aunque, al decir de muchos, inesperados los temas que se abordaron. Por mi parte, yo no me quejo.

Y es que, como el que se asome por el vínculo a Wikipedia que puse podrá comprobar, este Lord Kelvin fue uno de esos científicos hombre-orquesta que se dejaban llevar a donde la curiosidad los llevara. Una pequeña lista de sus contribuciones:

• Cálculo de la edad de la tierra (un poquito descachado, pero alcanzaría a fastidiar a los creacionistas)
• El analizador armónico, increíble máquina para realizar análisis de Fourier mecánicamente, que vi funcionar el otro día con estos ojos que se han de comer los gusanos
• La primera transmisión transatlántica de información
• Récord centenario para la estructura tridimensional de espuma más estable. El problema de Kelvin reza: "¿cuál es la forma de dividir el espacio tridimensional en celdas iguales con la mínima superficie?". Más sobre eso, más adelante.
• Patentes útiles, y plata como un hijuemadre por desarrollos tecnológicos
• La termodinámica. ¿les parece poquito? Si es así, ¿les suena la "revolución industrial"? De ahí la escala de temperaturas
  
• Posiblemente, primera casa con servicio de electricidad en la historia
• Primeros pasitos de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales
• Interesantísimo, aunque infructuoso, intento de sistematizar la teoría de los elementos químicos por medio de la Teoría de Nudos, que comenzó a desarrollarse con ese empujoncito. Pueda que volvamos allá, eventualmente
• Gestión innovadora de la enseñanza teórico-práctica de las ciencias
• Un largo etcétera

La razón por la que los temas fueron inesperados, es que no se habló del tema estrella de la Termodinámica. Puede consultarse en la página web de la conmemoración los temas que sí se trataron, por lo que me limitaré a reseñar dos.

El primero, la charla de sir Michael Berry, toda una celebridad de la física. Su fama y relevancia se deben a su trabajo con un tema poco apreciado entre los legos y físicos de vieja guardia, pero muy apreciado entre los físicos de nuevas generaciones: las fases. El que haya estudiado electromagnetismo se habrá encontrado con los famosos fasores, y otros trucos que se utilizan para estudiar la sincronicidad en las ondas, por lo general usando números complejos. Sé, por mi contador de visitas, que hay quien llega a este blog buscando explicaciones al respecto. La charla era sobre vórtices. Remolinos. La idea, es que los remolinos son un patrón que aparece por todos lados en la física, y fue desde luego uno de los temas que reclamaron la atención de Lord Kelvin. En particular, Kelvin pensaba que lo que daba estabilidad a los átomos era una dinámica de remolinos en el éter, y como en 3 dimensiones los remolinos definen lineas alrededor de las cuales las cosas giran, los átomos podían clasificarse según las maneras como las diversas lineas se "anudaban" entre sí. De ahí aquello de la teoría de nudos. Tremendamente interesante.

Y lo otro, es lo de la celda de Kelvin. Resulta que a Lord Kelvin le gustaba jugar con espuma, como a los niños. Tanto, que en una carta de su entonces esposa, ella se sintió obligada a justificarlo con la curiosidad científica. Como si fuera tan distinta a las ganas de jugar como niño chiquito. El caso, es que hubo un tiempo en que Lord Kelvin se la pasaba haciendo modelos geométricos de alambre y sumergiéndolos en jabón, para chequear la estabilidad de los patrones de la película que se formaba en ellos. En un artículo que hoy no le hubieran publicado por ser confuso, juguetón y poco conclusivo, contaba el procedimiento por el cual llegó a un resultado elegantísimo con una intuición que parece sobrehumana: La celda óptima se parece a un octaedro truncado en sus puntas, con las aristas ligeramente curvas.

El que habló sobre eso, en una charla tremendamente amena, fue Denis Weaire, la persona que (con un estudiante de doctorado) le bajó el récord a Kelvin con una estructura mejor para las celdas (celdas de Wearie-Phelan). La estructura de Weaire es un dodecaedro regular deformado y también ligeramente curvo. Lo mejor de este asunto, es que todo esto es física de papel, lápiz, balde, jabón, y alambre. Como le gustaba a Lord kelvin. Pero no por eso menos glamourosa: resulta que para los olímpicos del 2008 en Pekín, el diseño ganador para la piscina es un cubo de espuma que usa estos tipos de estructura, logrando una resistencia mecánica impresionante. El edificio está hecho con tubos de acero y bolsas de plástico infladas.

Las otras dos charlas también estuvieron buenas, pero este post ya está muy ladrilludo.

PROBABILIDADES Y GEOMETRÍA (II)

Imagen: Mandala Discordiano, tomada de PRINCIPIA DISCORDIA

Un rasgo muy importante de las representaciones estadísticas es la correlación, que tiene que ver con qué tan frecuentemente un resultado aparece en conjunto con otro. Si suelen ir juntos, o por el contrario, se evitan.

OBSERVABLES CORRELACIONADOS Y NO CORRELACIONADOS

Los dos resultados excluyentes que teníamos en un principio se representan como dos rayos perpendiculares; llamémosles el resultado A=0 y el resultado A=1.

Habíamos dicho que hay otros observables que se pueden representar; tomemos por ejemplo nuestro observable A, y uno que no tenga ninguna información sobre A. Eso significa que cualquiera de los rayos del nuevo observable está tan cerca del resultado 0 como del resultado 1.
El resultado de medir A no nos dará ninguna pista sobre el resultado para el segundo (B); las probabilidades serán 1/2 y 1/2 y las amplitudes serán las raíces cuadradas de 1/2, con cualquier signo. Decimos entonces que B es no sesgado respecto a A, o que no está correlacionado.

La receta para interpretar estas amplitudes relativas, entre un resultado y otro, es que son la raiz cuadrada de una probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de un resultado del observable B, dado que el observable A dio tal resultado. En este caso, los resultados del observable A dijimos que eran 0 y 1, y digamos que los del observable B sean S y N. Hay 4 probabilidades condicionales acá, y todas tienen valores de 1, 1/2, y 0:

PROBABILIDADES CONDICIONALES

P(Overtical=Rvertical\Ohorizontal=Rhorizontal) Probabilidad de que el Observable vertical Overtical de un resultado Rvertical, dado que el Observable horizontal Ohorizontal ha dado un resultado Rhorizontal

	A=0	A=1	B=N	B=S
A=0	1	0	1/2	1/2
A=1	0	1	1/2	1/2
B=N	1/2	1/2	1	0
B=S	1/2	1/2	0	1

Si escogemos los resultados de A como los ejes X y Y, los rayos serían:

• A=0: mas o menos (1,0)
  
• A=1: mas o menos (0,1)
• B=S: mas o menos (raiz(1/2), raiz(1/2))
• B=N: mas o menos (raiz(1/2), -raiz(1/2))

Hay una operación entre dos vectores que nos da un número, y ésta se llama producto interno, producto escalar o producto punto. Consiste en multiplicar el X del uno por el X del otro, y a eso sumarle el producto del Y del uno por el Y del otro:

(a_x,a_y)·(b_x,b_y) = a_x·b_x + a_y·b_y

Ese producto, es el que nos permite calcular las amplitudes de las probabilidades relativas. A veces, en mecánica cuántica se les llama amplitudes de transición. Al elevarlas al cuadrado, dan las probabilidades. El lector intenso puede calcular los productos internos de los cuatros vectores que doy (con signo indeterminado, y todo) y verificar que los cuadrados de las amplitudes son las probabilidades de la tabla. Tiene que tomar en cuenta, eso sí, que aunque en el caso de B=N, los signos de las componentes X y Y pueden ser indeterminados, pero tienen que ser contrarios.

UNA REPRESENTACIÓN ELEGANTE

La verdad, estar cargando con esas flechas de doble signo (los rayos) no deja de ser fastidioso. Para poder hablar de geometría más comodamente, vamos a escoger una representación en la cual tengamos vectores comunes y corrientes. Para eso, vamos a tomar medio círculo que tenga sólo una punta de cada rayo, y vamos a hacer con ese medio, un círculo entero.

En esta representación, los resultados opuestos A=0 y A=1 quedan como vectores opuestos en el eje Y, y los resultados opuestos B=0 y B=1 quedan como vectores opuestos en el eje X. Esta representación de los estados binarios es parte de lo que se llama la esfera de Bloch, en honor al suizo Felix Bloch. Es una manera muy elegante y bonita de representar rayos con vectores. ¿porqué no es esfera sino círculo? porque no hemos usado números complejos. Ya vamos para allá.

En la esfera de Bloch, los productos escalares no nos dicen la amplitud de la probabilidad, sino algo relacionado con la correlación. Fíjense que el producto de un vector consigo mismo es 1; con su resultado opuesto es -1 y con los estados no sesgados, es 0. Para encontrar la probabilidad condicional, por ejemplo P(A=0) usamos una fórmula un poco distinta:

P (O₂=R₂\O₁=R₁) = (1+V₁·V₂)/2

El lector intenso también puede verificar que esto se cumple, para los vectores

• V(A=0) = (0,1)
• V(A=1) = (0, -1)
• V(B=S)=(1,0)
• V(B=N)=(-1,0)

En nuestro círculo de Bloch, los vectores se encuentran organizados en un polígono regular, y la simetría de eso se refleja en la tabla de probabilidades. Si tuviéramos, por ejemplo un hexágono, habría tres observables binarios A, B y C:

Los productos escalares variarían entre 1 1/2 y 0, con sus correspondientes valores negativos. Todas las probabilidades condicionales serían 0, 1/4, 3/4 o 1. Todos los resultados de un observable implican que hay un resultado de los otros que es 3 veces mas probable que su contraparte. Serían entonces observables correlacionados.

Encontrar las amplitudes de probabilidad para estos es relativamente fácil, ya que sabemos cómo deducir la probabilidad de la amplitud (es el cuadrado) y cómo deducir la probabilidad del producto punto en el círculo de Bloch. Igualando, obtenemos las amplitudes, que, si uno de los observables es los ejes, nos dan exactamente las coordenadas:

• (0,1) y (1,0) Ya lo sabíamos
• (raiz de 3/4, 1/2), (-1/2, raiz de 3/4)
• (1/2, raiz de 3/4), (-raiz de 3/4, 1/2)
  

¿MAS SIMETRÍA? HAY QUE PONERSE COMPLEJO

En nuestra representación de los estados con vectores (o rayos de amplitudes) hemos mostrado como la información sobre dos observables está codificada diferente; en el caso de el observable A, tenemos vectores ±(1,0) y ±(0,1) y la información está simplemente codificada en los números, mientras que en el observable B está codificada en la diferencia de signos entre ambas coordenadas, porque los vectores son ±raiz(1/2)·(1,1) y ±raiz(1/2)·(1,-1). Podemos, además, hacer un truco para tener una tercera manera de codificar la información, que no se correlacione con ninguna de los otros, y es introducir un número que al cuadrado sea - 1. Eso, es un número imaginario que se suele denotar i. Esta tercera manera de codificar, nos permite tener una dirección perpendicular más en la representación de Bloch, y, por lo tanto, ya podemos hablar de la esfera de Bloch.

Los juegos de rayos serían:

• Observable A: ±(0,1) y ±(1,0)
  
• Observable B: ±(1,1) y ±(1,-1) Multiplicado todo por raiz de 1/2, para que las probabilidades sumen 1
  
• Observable B: ±(1,i) y ±(1,-i) Multiplicado también todo por raiz de 1/2

Para que esto funcione, tenemos que establecer una regla: que cuando un vector que contenga i multiplica por la izquierda, se le cambia el signo al i; a eso le llamamos conjugado complejo. Hay que hacer eso, para que el producto consigo mismo de 1. Los fasores pueden representarse también como números en un plano, que se llama el plano complejo. Los reales van en la dirección horizontal, y los imaginarios en la vertical:
Lo que antes era el signo, ahora es algo mas general, que puede incluir números imaginarios. Teníamos dos números que eran la raiz cuadrada de 1, el propio 1 y el -1. Ahora, el propio i es en cierto modo una raiz cuadrada de 1, si tomamos la regla de cambiarle el signo cuando multiplica por la izquierda. (-i)·(i)=1. Y hay otros números que tienen la misma propiedad, que al multiplicarlos por su conjugado complejo, dan 1.

• (raiz de 1/2)(1+i) Multiplicando su conjugado: (raiz de 1/2)(1-i)·(raiz de 1/2)(1+i)=(1/2)(1-(-1))=1
  
• (raiz de 1/2)(1- i) Multiplicando su conjugado: (raiz de 1/2)(1+i)·(raiz de 1/2)(1-i)=(1/2)(1-(-1))=1

En la gráfica, los números conjugados complejos aparecen igualmente separados del eje real, pero uno arriba y otro abajo. Y su producto, en estos casos, siempre es uno.
Esos números, se llaman fases, fasores. Una fase tiene una parte real y una imaginaria, y al multiplicarla por su conjugado complejo, da siempre 1. Cuando trabajamos con números complejos, podemos codificar información en las fases, que es exactamente lo que se hace cuando se aplica la transformada de Fourier.

La fase nos permite codificar la información de mas formas, sin necesidad de que sea más información (sigue siendo 2 el número de opciones que se excluyen).

Los seis estados que he mencionado, dos por cada observable no correlacionado, se ubican en la esfera de Bloch en los vértices de un octaedro. Todas las probabilidades condicionales son 1, 1/2 o 0.

Todos los polihedros regulares corresponden a conjuntos de estados con relaciones probabilísticas relativamente sencillas. Por ejemplo, veamos los estados que corresponderían al cubo:
Son ocho estados, y cada uno tiene 3 cercanos, 3 lejanos, y uno contrario. Las probabilidades condicionales son 1, 2/3, 1/3 y 0. Se pueden representar en un grafo, donde los puntos son estados, y la probabilidad condicional es (3-distancia)/3. La distancia es la mínima cantidad de lineas que hay que recorrer para llegar de un estado a otro.

Los 6 estados de los observables completamente no correlacionados, habíamos visto, forman un octoedro. Si ponemos un estado extra en la mitad de cada una de las caras (8 caras), obtendremos un poliedro (no platónico, pero simétrico) de 14 puntas. El grafo que representa a este sería:
Para interpretarlo, la regla es simple: cada distancia (definida como mínimo número de lineas entre dos puntos) corresponde a una probabilidad condicional. La tabla es:

• Distancia 0: probabilidad 1
• Distancia 1: probabilidad (3+raiz de 3)/6 Mas o menos 0.7887
• Distancia 2: progabilidad 1/2 si es entre los rojos, y 2/3 si es entre los azules
  
• Distancia 3: probabilidad (3-raiz de 3)/6 Mas o menos 0.2113
• Distancia 4: probabilidad 0 si es entre rojos, 1/3 si es entre los azules.
• Distancia 6: probabilidad 0. Sólo se da entre los azules.
  

La razón por la que hay dos casos para distancia 2, es que hay dos tipos de estados, los rojos, que son del octaedro (los tres observables incompatibles), y los azules, que son del cubo. El hecho de que haya dos tipos de estados, tiene que ver con que el polihedro que escogimos tiene dos tipos distintos de vértices, porque sus caras no son polígonos regulares, sino unos triángulos no equiláteros.

En el siguiente post al respecto, pondré algo mas sobre los poliedros regulares, antes de pasar a hablar de las transformaciones de simetría.

PROBABILIDADES Y GEOMETRÍA (I)

A medida que crece, el saber cambia de forma. No hay uniformidad en el verdadero saber. Todos los auténticos saltos se realizan lateralmente, como los saltos del caballo en el ajedrez. Lo que se desarrolla en línea recta y es predecible resulta irrelevante. Lo decisivo es el saber torcido y, sobre todo, el lateral. Elias Canetti, en "el suplicio de las moscas"

Al que tema encontrarse aquí un tratado sobre las aplicaciones de la geometría a diversos aspectos de la teoría de las probabilidades, le recuerdo que este es un blog, y por lo tanto debe girar alrededor de los intereses del insignificante Lanark.

Por lo tanto, lo que hay aquí, es un intento del autor de aclarar lo que tiene en su cabeza, antes de hacer un texto y, eventualmente, una presentación, para exponer en la Universidad.

Y se trata de ciertas formas geométricas de representar las probabilidades de ciertos resultados de mediciones, sacadas de la teoría cuántica. Como toca explicar las cosas bien, voy a partir la cosa en dos, para no cansar al sufrido lector.

Empiezo postulando que en ciencias, lo que hace uno es separar, controlar y medir. Hablo de la parte experimental. Cuando uno separa, define un sistema; cuando controla (o prepara) define un estado; y cuando mide, define un observable.

DIVIDE ET IMPERA: estados y otros conceptos

Manjushri, el Boddhisatva de la Sabiduría, empuña una espada, y eso simboliza el hecho de que tiene un criterio agudo para discernir. Lo pongo acá por exótico, aunque podría poner ejemplos mas occidentales donde la capacidad de juicio se representa como un instrumento cortante (¿qué tal la navaja de Occam?)
Y es que separar es vital en las ciencias. Todo lo que voy a hablar acá tiene que ver partir un conjunto en subconjuntos. Por ahora, voy a evitar la tentación de hablar de esa particularidad de la ciencia.
Cuando uno prepara de cierta forma, está poniendo el conjunto de posibles casos en la guillotina, para que cuando se mida, se separe limpiamente en los casos donde dio una cosa, o los casos donde dio otra cosa. Bueno, si hay más posibilidades, de pronto hay que descuartizar más, aunque el bisturí es más recomendado que la sierra de cadena. Estos son los pasos del científico-carnicero:

1. Se agarra al especimen: ahí se lo separa de lo que no va a ser cortado. En este paso definimos a qué le llamamos sistema.
   
2. Se amarra. Ahí, preparamos el sistema. La forma como lo amarramos, debería determinar qué pedazos van a salir. Es decir, la preparación determina el estado del sistema.
3. Se corta. Ahí, medimos. Cada pedazo, corresponde a un valor posible de un observable.
   

Para interpretar la anterior lista, puede ser útil imaginar que tenemos una gran cantidad de oportunidades de repetir el experimento, lo cual es equivalente a decir que tenemos un ensamble de sistemas preparados de la misma manera (ese es el conjunto que vamos a partir), y hacemos lecturas sobre ellos. Entonces, un subensamble dará un resultado, otro otro, y así sucesivamente.

Si vemos qué fracción del ensamble salió con un resultado, hemos encontrado la probabilidad de ese resultado en ese sistema, para ese observable.

Probabilidad = (Tamaño del subensamble para un resultado)/(Tamaño total del ensamble)

LO UNO, O LO OTRO

Para ver cómo empezamos a utilizar la geometría para estas representaciones de los estados, tomemos el caso más simple, nuestra medición es binaria, puede dar sólo dos resultados. Sólo hay cero, o uno. Si el cero tiene una probabilidad P0, entonces el uno tiene una probabilidad P1=1-P0, porque las dos deben s

umar uno. Si suman menos, es porque nos falta contar posibilidades, y si suman más, es porque estamos contando algunas en ambos subensembles.

Como queremos hacer geometría, representamos las dos probabilidades en un cuadrado plano de lado uno, porque la mínima probabilidad es 0 y la máxima 1. (x sería una probabilidad y y la otra) y la condición de que sumen uno, se cumple en una linea diagonal en ese plano. Estamos representando entonces el estado con un vector, uno que señala algún punto en esa línea.

INFORMACIÓN, Y TRANSFORMACIONES QUE NO LA AFECTAN

Cuando uno dice que la preparación del sistema, donde se define el estado, determina las probabilidades de los resultados, implica que una buena representación del estado del sistema debe tener alguna información sobre los resultados. La información, como veremos, depende sólo de las probabilidades:

• Si todos los resultados son equiprobables, no hay información
• Si un estado tiene probabilidad uno y los demás cero, la información es máxima.

Una definición que cumple con esas dos premisas, y otras mas estrictas, es la que definieron Shannon y Weaver, y dio lugar a la Teoría de la Información. Pero, si tenemos opciones, no voy a agobiar al lector con esa definición, basta con tener en cuenta los dos puntos anteriores, y suponer que la información varía continuamente con las probabilidades.

La información depende de las probabilidades, pero no de cuál resultado tiene cuál probabilidad. Si les ponemos las mismas probabilidades, pero repartidas en resultados distintos, la probablidad es igual. Entonces, decimos que las permutaciones de los resultados no afectan la cantidad de información.

En el caso del observable binario, sólo hay una permutación: 1 <---> 2 Geométricamente, consisiste en hacer girar el cuadrado respecto a la diagonal que parte el triángulo en dos partes iguales (la linea x=y)

Esta, de hecho, es lo que se llama una transformación de simetría del triángulo que forma la linea diagonal (x+y=1) con los ejes. Deja al triángulo exactamente igual, y en la misma posición.

NI LO UNO NI LO OTRO, SINO TODO LO CONTRARIO

Aparte de las dos probabilidades, hay una forma de darle a nuestra representación más simetría, y es convirtiendo el cuadrado en un círculo. No se trata de la famosa cuadratura del círculo, sino de algo mucho más simple. ¿qué pasaría si las probabilidades fueran otra cosa al cuadrado? Pues que si graficamos esa otra cosa, no tendríamos una diagonal en cuadrado sino un pedazo de círculo en ese mismo cuadrado.

De x+y=1 pasamos a A_x²+A_y²=1

Richard P. Feynman, tal vez el primer humano en hacerse una idea clara de la mecánica cuántica, pensó que esas raíces cuadradas de la probabilidad, (que él llamó amplitudes de probabilidad) eran el concepto clave para entender esa misteriosa teoría.

Si representamos los estados usando las amplitudes, nos damos cuenta, primero, de que el signo puede ser negativo. Ya no necesitamos un cuadrado que va entre 0 y 1 en cada eje, con una diagonal, sino un cuadrado que va de -1 a +1 en ambos ejes, y dentro tiene un círculo completo que contiene a las amplitudes que dan probabilidades que suman uno.
Tenemos que representar, eso sí, cada estado con un vector que no sólo señala un punto del círculo, sino también su punto opuesto, para ser consecuentes con el hecho de que el signo no importa (un vector va en dirección opuesta cuando se le cambia el signo) A estos vectores extraños, en mecánica cuántica se les llama rayos.

Algo interesante de esta representación de los estados con amplitudes, es que todas las rotaciones alrededor del origen, dejan ese círculo igual. Al principio teníamos un observable representado por los ejes X y Y, y ahora, en realidad cualquier par de direcciones perpendiculares, pueden representar un observable. En el próximo texto veremos, sin embargo, que estos observables, no pueden ser completamente independientes.

APÉNDICE: ¿PORQUÉ UN CÍRCULO?

Por el teorema de Pitágoras. Las componentes x y y de cada vector son como dos lados de un triángulo unido en un ángulo recto; si la suma de los cuadrados de los dos es 1, quiere decir que la hipotenusa, es decir el lado diagonal, va a ser 1. como el x y el y se miden desde el origen, desde el origen (el cero) hasta cada punto, habrá una hipotenusa de longitud uno (Radio 1).