domingo, diciembre 03, 2006

PROBABILIDADES Y GEOMETRÍA (I)

A medida que crece, el saber cambia de forma. No hay uniformidad en el verdadero saber. Todos los auténticos saltos se realizan lateralmente, como los saltos del caballo en el ajedrez.
Lo que se desarrolla en línea recta y es predecible resulta irrelevante. Lo decisivo es el saber torcido y, sobre todo, el lateral.
Elias Canetti, en "el suplicio de las moscas"

Al que tema encontrarse aquí un tratado sobre las aplicaciones de la geometría a diversos aspectos de la teoría de las probabilidades, le recuerdo que este es un blog, y por lo tanto debe girar alrededor de los intereses del insignificante Lanark.

Por lo tanto, lo que hay aquí, es un intento del autor de aclarar lo que tiene en su cabeza, antes de hacer un texto y, eventualmente, una presentación, para exponer en la Universidad.

Y se trata de ciertas formas geométricas de representar las probabilidades de ciertos resultados de mediciones, sacadas de la teoría cuántica. Como toca explicar las cosas bien, voy a partir la cosa en dos, para no cansar al sufrido lector.

Empiezo postulando que en ciencias, lo que hace uno es separar, controlar y medir. Hablo de la parte experimental. Cuando uno separa, define un sistema; cuando controla (o prepara) define un estado; y cuando mide, define un observable.
DIVIDE ET IMPERA: estados y otros conceptos

Manjushri, el Boddhisatva de la Sabiduría, empuña una espada, y eso simboliza el hecho de que tiene un criterio agudo para discernir. Lo pongo acá por exótico, aunque podría poner ejemplos mas occidentales donde la capacidad de juicio se representa como un instrumento cortante (¿qué tal la navaja de Occam?)
Y es que separar es vital en las ciencias. Todo lo que voy a hablar acá tiene que ver partir un conjunto en subconjuntos. Por ahora, voy a evitar la tentación de hablar de esa particularidad de la ciencia.
Cuando uno prepara de cierta forma, está poniendo el conjunto de posibles casos en la guillotina, para que cuando se mida, se separe limpiamente en los casos donde dio una cosa, o los casos donde dio otra cosa. Bueno, si hay más posibilidades, de pronto hay que descuartizar más, aunque el bisturí es más recomendado que la sierra de cadena. Estos son los pasos del científico-carnicero:

  1. Se agarra al especimen: ahí se lo separa de lo que no va a ser cortado. En este paso definimos a qué le llamamos sistema.
  2. Se amarra. Ahí, preparamos el sistema. La forma como lo amarramos, debería determinar qué pedazos van a salir. Es decir, la preparación determina el estado del sistema.
  3. Se corta. Ahí, medimos. Cada pedazo, corresponde a un valor posible de un observable.
Para interpretar la anterior lista, puede ser útil imaginar que tenemos una gran cantidad de oportunidades de repetir el experimento, lo cual es equivalente a decir que tenemos un ensamble de sistemas preparados de la misma manera (ese es el conjunto que vamos a partir), y hacemos lecturas sobre ellos. Entonces, un subensamble dará un resultado, otro otro, y así sucesivamente.

Si vemos qué fracción del ensamble salió con un resultado, hemos encontrado la probabilidad de ese resultado en ese sistema, para ese observable.

Probabilidad = (Tamaño del subensamble para un resultado)/(Tamaño total del ensamble)

LO UNO, O LO OTRO

Para ver cómo empezamos a utilizar la geometría para estas representaciones de los estados, tomemos el caso más simple, nuestra medición es binaria, puede dar sólo dos resultados. Sólo hay cero, o uno. Si el cero tiene una probabilidad P0, entonces el uno tiene una probabilidad P1=1-P0, porque las dos deben s
umar uno. Si suman menos, es porque nos falta contar posibilidades, y si suman más, es porque estamos contando algunas en ambos subensembles.


Como queremos hacer geometría, representamos las dos probabilidades en un cuadrado plano de lado uno, porque la mínima probabilidad es 0 y la máxima 1. (x sería una probabilidad y y la otra) y la condición de que sumen uno, se cumple en una linea diagonal en ese plano. Estamos representando entonces el estado con un vector, uno que señala algún punto en esa línea.


INFORMACIÓN, Y TRANSFORMACIONES QUE NO LA AFECTAN

Cuando uno dice que la preparación del sistema, donde se define el estado, determina las probabilidades de los resultados, implica que una buena representación del estado del sistema debe tener alguna información sobre los resultados. La información, como veremos, depende sólo de las probabilidades:
  • Si todos los resultados son equiprobables, no hay información
  • Si un estado tiene probabilidad uno y los demás cero, la información es máxima.
Una definición que cumple con esas dos premisas, y otras mas estrictas, es la que definieron Shannon y Weaver, y dio lugar a la Teoría de la Información. Pero, si tenemos opciones, no voy a agobiar al lector con esa definición, basta con tener en cuenta los dos puntos anteriores, y suponer que la información varía continuamente con las probabilidades.

La información depende de las probabilidades, pero no de cuál resultado tiene cuál probabilidad. Si les ponemos las mismas probabilidades, pero repartidas en resultados distintos, la probablidad es igual. Entonces, decimos que las permutaciones de los resultados no afectan la cantidad de información.

En el caso del observable binario, sólo hay una permutación: 1 <---> 2 Geométricamente, consisiste en hacer girar el cuadrado respecto a la diagonal que parte el triángulo en dos partes iguales (la linea x=y)

Esta, de hecho, es lo que se llama una transformación de simetría del triángulo que forma la linea diagonal (x+y=1) con los ejes. Deja al triángulo exactamente igual, y en la misma posición.
NI LO UNO NI LO OTRO, SINO TODO LO CONTRARIO

Aparte de las dos probabilidades, hay una forma de darle a nuestra representación más simetría, y es convirtiendo el cuadrado en un círculo. No se trata de la famosa cuadratura del círculo, sino de algo mucho más simple. ¿qué pasaría si las probabilidades fueran otra cosa al cuadrado? Pues que si graficamos esa otra cosa, no tendríamos una diagonal en cuadrado sino un pedazo de círculo en ese mismo cuadrado.

De x+y=1 pasamos a Ax2+Ay2=1


Richard P. Feynman, tal vez el primer humano en hacerse una idea clara de la mecánica cuántica, pensó que esas raíces cuadradas de la probabilidad, (que él llamó amplitudes de probabilidad) eran el concepto clave para entender esa misteriosa teoría.

Si representamos los estados usando las amplitudes, nos damos cuenta, primero, de que el signo puede ser negativo. Ya no necesitamos un cuadrado que va entre 0 y 1 en cada eje, con una diagonal, sino un cuadrado que va de -1 a +1 en ambos ejes, y dentro tiene un círculo completo que contiene a las amplitudes que dan probabilidades que suman uno.
Tenemos que representar, eso sí, cada estado con un vector que no sólo señala un punto del círculo, sino también su punto opuesto, para ser consecuentes con el hecho de que el signo no importa (un vector va en dirección opuesta cuando se le cambia el signo) A estos vectores extraños, en mecánica cuántica se les llama rayos.

Algo interesante de esta representación de los estados con amplitudes, es que todas las rotaciones alrededor del origen, dejan ese círculo igual. Al principio teníamos un observable representado por los ejes X y Y, y ahora, en realidad cualquier par de direcciones perpendiculares, pueden representar un observable. En el próximo texto veremos, sin embargo, que estos observables, no pueden ser completamente independientes.

APÉNDICE: ¿PORQUÉ UN CÍRCULO?
Por el teorema de Pitágoras. Las componentes x y y de cada vector son como dos lados de un triángulo unido en un ángulo recto; si la suma de los cuadrados de los dos es 1, quiere decir que la hipotenusa, es decir el lado diagonal, va a ser 1. como el x y el y se miden desde el origen, desde el origen (el cero) hasta cada punto, habrá una hipotenusa de longitud uno (Radio 1).

17 comentarios:

Hannah dijo...

Hola Lanmark, ante todo gracias por tu inteligente comentario en mi blog, en el post de "¿Y tú qué sabes?" Digo inteligente porque no suelo recibir comentarios bien fundados, aunque tú dices no estar de acuerdo conmigo y, al leerte, veo que con lo qué realmente no estas de acuerdo es con el modo de formulación, no así con el contenido, ya que ambos postulamos lo mismo. Seguidamente, te agradezco también el enlace. En justa correspondencia, estás igualmente enlazado en mi blog. Y respecto a tu post, decirte que me he perdido... Será porque lo he leído rápido, ya que estoy en un cibercafé -tengo mi compu averiada-, en cuanto se subsanen las irregularidades de mi equipo, me lo imprimiré y lo leeré con la atención y detenimiento que merece.
Un abrazo cordial
Hannah

Lanark dijo...

Muchas gracias por tu visita, Hannah. Visita con comentario, vale doble. Espero que tu ordenador (así le llaman por allá) esté funcionando bien pronto, aunque más para que escribas cómodamente, que para que leas mis aburridos textos.
Sobre el comentario en tu blog, fue una gran oportunidad encontrar una reseña de ese documental, que me parece que, así sea con reservas, la vale. También es divertido, debo agregar, leer los comentarios de tu grupo de jóvenes amigos libertarios y radicales.

El texto que había reseñado de mi blog (eso prácticamente fue SPAM) no era este último, sino otro que también está rotulado con teoría cuántica y se llama "el borroso individuo del futuro" Este está todavía un poco en obra negra, porque cuando lo leíste, y aún ahora que escribo esto, le faltan unas gráficas al final, que creo que ayudarán a entender una parte muy importante.

Stavrogin dijo...

Pues prometo que lo leí entero, aunque, al igual que Hannah, debo reconocer que me perdí un poco. La primera parte me resultó más familiar, ya que en ciencias sociales también empleamos estos métodos.

La segunda parte me costó mucho, tanto o más que si estuviera escrito en chino o tratase sobre semiótica. Quizás sea necesaria esa gráfica, o quizás uno no esté demasiado dotado para la ciencia. O quizás la miel no esté hecha para el asno, que todo es posible. Vaya usted a saber...

Lo releeré con calma. Al fin y al cabo, esta tarde tengo que quedarme en la oficina y no estoy muy por la labor de esforzarme...

Lanark dijo...

Stavrogin: Muchas gracias también por el esfuerzo, el post es bastante técnico, y aunque explico más cosas que en el texto definitivo para la Universidad, sí hay un montón que asumo que el lector conoce. De modo que puede ser una lectura pesada. Espero, en todo caso, que valga la pena, y que en la siguiente parte se ponga mejor.

ApoloDuvalis dijo...

Nice post Mr.Lanark, thanks for this introductory text to your field of knowledge. I have to confess I couldn't get all implications of your ideas, but it's pleasant to realize I was able to follow with a second read. After all, the time and money I invested in my engineerings degree wasn't a total waste... ;)

shoegazer dijo...

Hola,
Después de mucho tiempo pude leer este post con cierta calma. En general está más o menos claro, aunque tal vez deberías darle más estructura dramática al asunto; en este caso, sugerir desde el comienzo hacia dónde va el asunto. Porque además el post es corto y un poco anticlimático. Tengo varias preguntas:
- ¿Por qué al graficar las amplitudes de probabilidad se dibuja un círculo? Entiendo las consecuencias y la utilidad de que sea un círculo, pero mi ignorancia en matemáticas me impide entender cómo se obtiene.
- ¿De dónde sale (por qué se supone) que las probabilidades sean "otra cosa al cuadrado"?
- "only the energies of bound systems are quantized". ¿Qué es un "bound system"? Según entiendo es un sistema controlado, donde las cosas se mueven dentro de parámetros definidos (en el ejemplo, es un electrón que se mueve en una línea).

Gracias por la paciencia y por someterte a la tarea más bien absurda de enseñar física cuántica en un blog no científico y para un público, creo, bastante interdisciplinario.

Lanark dijo...

ApoloDuvalis: Please do not expect much implications. It can be a long way till it can be used for a search engine, a database or a recommendations system. By the way, I am glad you made it through this.

Shoegazer: Tienes toda la razón sobre la estructura dramática. Debería haber explicado para dónde iba, porque eso creo que lo tengo claro, al menos hasta cierto punto. Quedará para un post posterior, aunque la estructura dramática quede aún peor.

Puse un apéndice respecto a lo de porqué es un círculo, porque necesitaba una gráfica. Gracias por la pregunta.

Sobre usar una raiz cuadrada: la razón de que uno quiere que sea otra cosa al cuadrado, es que uno necesita que la otra cosa tenga una información que se pierda al elevar al cuadrado, como el signo. La idea, es que uno pueda acceder a la información que tiene la amplitud misma, o a la información sobre el signo, pero no a ambos a la vez. Esa es la manera de meter ahí los principios de indeterminación. Espero no estar confundiendo más las cosas.

Sobre la cuantización de la energía: Una cuerda infinita no tiene frecuencias favoritas para vibrar. Pero una cuerda de guitarra sí, porque está agarrada en dos puntos; "bounded". La cuerda de guitarra tiene frecuencias favoritas: un espectro de frecuencias, que no es otra cosa que un espectro de energías. La cuantización no es exclusiva de la teoría cuántica. Lo que tiene la teoría cuántica de nuevo respecto a las teorías de ondas, es que las cosas también tienen propiedades de partícula, que son incompatibles con las propiedades de onda. Increíble cómo los divulgadores llevan 100 años confundiendo a la gente con ese cuento.

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